Question

20．如图，在△ABC中，点E为AB边的中点，点F在AC边上，且CF=2FA，BF交CE于点M，设$\overrightarrow{AM}$=x$\overrightarrow{AE}$+y$\overrightarrow{AF}$，则x+y=$\frac{1}{5}$．

Answer 1

分析 分别在△AEM、△AFM中，由向量的加法法则利用算两次的方法，代入已知条件计算，即可得出结论．

解答 解：由图及向量的加法和减法可知：$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{AE}$+$\overrightarrow{EM}$，
由$\overrightarrow{EM}$与$\overrightarrow{EC}$共线，可设$\overrightarrow{EM}$=m$\overrightarrow{EC}$，∴$\overrightarrow{AM}$=（1-m）$\overrightarrow{AE}$+3m$\overrightarrow{AF}$；
同理可得$\overrightarrow{AM}$=（1-n）$\overrightarrow{AF}$+2n$\overrightarrow{AE}$；
又$\overrightarrow{AM}$=x$\overrightarrow{AE}$+y$\overrightarrow{AF}$，则$\left\{\begin{array}{l}{1-m=2n=x}\\{3m=1-n=y}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{4}{5}$，y=$\frac{3}{5}$．
∴x-y=$\frac{1}{5}$．
故答案为$\frac{1}{5}$．

点评 本题考查平面向量基本定理的运用，充分理解向量的运算法则及共线的意义是解题的关键．