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精英家教网如图,设F是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦点,直线l为左准线,直线l与x轴交于P点,MN为椭圆的长轴,已知
PM
=2
MF
,且|
MN
|=8

(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过点P作直线与椭圆交于A、B两点,求△ABF面积的最大值.
分析:(Ⅰ)利用椭圆的长轴求得椭圆方程中的a,利用椭圆的定义和
PM
=2
MF
求得离心率,进而求得c,则b的值可得,最后求得椭圆的标准方程.
(Ⅱ)设出AB的方程,代入椭圆方程整理后利用韦达定理表示出yA+yB和yAyB,进而根据S△ABF=S△PBF-S△PAF|表示出△ABF面积利用基本不等式求得面积的最大值.
解答:解:(Ⅰ)由题意
|MN|
=8
,得2a=8,∴a=4.
PM
=2
MF
,∴e=
1
2

∴c=2,b2=a2-c2=12.
∴椭圆的标准方程为
x2
16
+
y2
12
=1

(Ⅱ)设过P点的直线AB方程为x=my-8,
代入椭圆方程整理得(3m2+4)y2-48my+144=0,yA+yB=
48m
3m2+4
yAyB=
144
3m2+4

S△ABF=S△PBF-S△PAF=
1
2
|PF|•|yB-yA|=
72
m2-4
3m2+4

S△ABF=
72
m2-4
3(m2-4)+16
=
72
3
m2-4
+
16
m2-4
72
2
3×16
=3
3

当且仅当3
m2-4
=
16
m2-4
,即m=±
2
21
3
时等号成立,且满足△>0.
∴△ABF面积的最大值是3
3
点评:本题主要考查了椭圆的简单性质,直线与椭圆的关系.解题最后注意对所求的m的值代入判别式进行验证.保证答题的严密性.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知点是F抛物线C 1x2=4y与椭圆C 2
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)
的公共焦点,且椭圆的离心率为
1
2

(1)求椭圆的方程;
(2)过抛物线上一点P,作抛物线的切线l,切点P在第一象限,如图,设切线l与椭圆相交于不同的两点A、B,记直线OP,FA,FB的斜率分别为k,k1,k2(其中O为坐标原点),若k 1+k2=
20
3
k
,求点P的坐标.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为
3
2
,一个焦点坐标为F(-
3
,0)

(1)求椭圆C1的方程;
(2)点N是椭圆的左顶点,点P是椭圆C1上不同于点N的任意一点,连接
NP并延长交椭圆右准线与点T,求
TP
NP
的取值范围;
(3)设曲线C2:y=x2-1与y轴的交点为M,过M作两条互相垂直的直线与曲线C2、椭圆C1相交于点A、D和B、E,(如图),记△MAB、
△MDE的面积分别是S1,S2,当
S1
S2
=
27
64
时,求直线AB的方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的右焦点F2与抛物线y2=8x的焦点重合,过F2作与x轴垂直的直线l与椭圆交于S、T两点,与抛物线交于C、D两点,且
|CD|
|ST|
=2
6

(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设P是椭圆M上的任意一点,EF为圆N:x2+(y-2)2=1的任意一条直径(E、F为直径的两个端点),求
PE
PF
的最大值.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,椭圆E:数学公式的右焦点F2与抛物线y2=8x的焦点重合,过F2作与x轴垂直的直线l与椭圆交于S、T两点,与抛物线交于C、D两点,且数学公式
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设P是椭圆M上的任意一点,EF为圆N:x2+(y-2)2=1的任意一条直径(E、F为直径的两个端点),求数学公式的最大值.

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如图,椭圆E:的右焦点F2与抛物线y2=8x的焦点重合,过F2作与x轴垂直的直线l与椭圆交于S、T两点,与抛物线交于C、D两点,且
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设P是椭圆M上的任意一点,EF为圆N:x2+(y-2)2=1的任意一条直径(E、F为直径的两个端点),求的最大值.

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