Question

己知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对任意的x∈（0，+∞），点（f（x）-lnx，1）总在函数y=f（x）的图象上，则方程f（x）+2x-7=0的解所在的区间为（　　）

A．（0，1）

B．（1，2）

C．（2，3）

D．（3，4）

Answer 1

分析：由题意可得，1=f[f（x）-lnx]，故f（x）-lnx为定值，不妨设t=f（x）-lnx，则f（x）=lnx+t．再由f（t）=lnt+t=1，求得t的值，可得f（x）的解析式．令m（x）=f（x）+2x-7，根据函数零点的判定定理求得m（x）的零点所在的区，从而得出结论．

解答：解：由于点（f（x）-lnx，1）总在函数y=f（x）的图象上，
故有 1=f[f（x）-lnx]，故f（x）-lnx为定值，
不妨设t=f（x）-lnx，
则 f（x）=lnx+t．
再由f（t）=lnt+t=1，
∴t=1，
f（x）=lnx+1．
可得方程f（x）+2x-7=0，
即 lnx+1+2x-7=0，
即 lnx+2x-6=0，
令m（x）=lnx+2x-6，
根据m（2）=ln2-2＜0，m（3）=ln3＞0，
且m（x）在（0，+∞）上是增函数，可得m（x）的零点所在的区间为（2，3），
即方程f（x）+2x-7=0的解所在的区间为（2，3），
故选C．

点评：本题主要考查函数零点与方程根的关系，函数零点的判定定理，属于中档题．