Question

【题目】若长方体的底面是边长为2的正方形，高为4，是的中点，则（ ）

A.B.平面平面

C.三棱锥的体积为D.三棱锥的外接球的表面积为

Answer 1

【答案】CD

【解析】

以为正交基底建立空间直角坐标系，写出各点坐标，计算值即可判断A；分别求出平面，平面的法向量，判断它们的法向量是否共线，即可判断B；利用等体积法，求出三棱锥的体积即可判断C；三棱锥的外接球即为长方体的外接球，故求出长方体的外接球的表面积即可判断D.

以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则

，，，，，，，

所以，，

因为，所以与不垂直，故A错误；

，

设平面的一个法向量为，则

由，得，所以，

不妨取，则，

所以，

同理可得设平面的一个法向量为，

故不存在实数使得，故平面与平面不平行，故B错误；

在长方体中，平面，

故是三棱锥的高，

所以，

故C正确；

三棱锥的外接球即为长方体的外接球，

故外接球的半径，

所以三棱锥的外接球的表面积，故D正确.

故选：CD.