Question

16．已知函数f（x）=$\frac{mx-1}{x}$．
（1）讨论函数的奇偶性；
（2）求证函数f（x）时（0，+∞）增函数；
（3）若函数f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]（0＜a＜b），求实数m的取值范围；
（4）若任意x∈（1，2]，不等式f（x）≥2x恒成立，求实数m的取值范围；
（5）若存在x∈（1，2]，使不等式f（x）≥2x成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对m讨论，m=0，m≠0，结合函数的奇偶性的定义，即可得到结论；
（2）求出函数的导数，判断导数的符号，即可得证；
（3）运用单调性，可得f（a）=2a，f（b）=2b，可得a，b为方程2x²-mx+1=0的两个不等的正根，运用韦达定理和判别式大于0，即可得到所求范围；
（4）任意x∈（1，2]，不等式f（x）≥2x恒成立，即为m≥2x+$\frac{1}{x}$的最大值，由单调性可得最大值；
（5）存在x∈（1，2]，使不等式f（x）≥2x成立，即为即为m≥2x+$\frac{1}{x}$的最小值，运用单调性即可得到所求范围．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{mx-1}{x}$=m-$\frac{1}{x}$（x≠0），
当m=0时，f（x）=-$\frac{1}{x}$为奇函数；
当m≠0时，f（x）既不是奇函数也不是偶函数；
（2）证明：f（x）=$\frac{mx-1}{x}$=m-$\frac{1}{x}$（x＞0），
f′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，即有f（x）在（0，+∞）为增函数；
（3）由f（x）在（0，+∞）为增函数，可得
f（a）=2a，f（b）=2b，
即有m-$\frac{1}{a}$=2a，m-$\frac{1}{b}$=2b，
即为a，b为方程2x²-mx+1=0的两个不等的正根，
则△=m²-8＞0，$\frac{m}{2}$＞0，
解得m＞2$\sqrt{2}$；
（4）任意x∈（1，2]，不等式f（x）≥2x恒成立，
即为m≥2x+$\frac{1}{x}$的最大值，由2x+$\frac{1}{x}$的导数为2-$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
可得（1，2]为增区间，即有最大值为4+$\frac{1}{2}$=$\frac{9}{2}$，
则有m≥$\frac{9}{2}$；
（5）存在x∈（1，2]，使不等式f（x）≥2x成立，即为
即为m≥2x+$\frac{1}{x}$的最小值，由2x+$\frac{1}{x}$的导数为2-$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
可得（1，2]为增区间，即有最小值为2+1=3，
则有m≥3．

点评 本题考查函数的奇偶性和单调性的运用，考查函数的值域的求法，注意运用单调性解决，考查不等式恒成立和成立问题的解法，属于中档题．