【题目】已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)证明:在区间上有且仅有个零点.
【答案】(1);(2)见解析
【解析】
(1)给函数求导,将切点的横坐标带入原函数,导函数,分别求出切点和斜率,用点斜式写出直线方程即可.
(2)当时,,所以,函数在区间上没有零点;又,下面只需证明函数在区间上有且只有一个零点.因为函数在区间上单调递增,,,存在,使得,函数在处取得极小值,则,又,所以,由零点存在定理可知,函数在区间上有且只有一个零点.综上可得,函数在上有且仅有两个零点.
(1),则,
,.
因此,函数在点处的切线方程为,即.
(2)当时,,此时,,
所以,函数在区间上没有零点;
又,下面只需证明函数在区间上有且只有一个零点.
,构造函数,则,
当时,,
所以,函数在区间上单调递增,
,,
由零点存在定理知,存在,使得,
当时,,当时,.
所以,函数在处取得极小值,则,
又,所以,
由零点存在定理可知,函数在区间上有且只有一个零点.
综上可得,函数在上有且仅有两个零点.
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【题目】给出下列五个命题:
①直线平行于平面内的一条直线,则;
②若是锐角三角形,则;
③已知是等差数列的前项和,若,则;
④当时,不等式恒成立,则实数的取值范围为.
其中正确命题的序号为___________.
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【题目】如图,在四棱锥中,顶点P在底面的投影恰为正方形ABCD的中心且,设点M,N分别为线段PD,PO上的动点,已知当取得最小值时,动点M恰为PD的中点,则该四棱锥的外接球的表面积为____________.
A.B.C.D.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为,离心率为,直线与椭圆C交于A,B两点,且.
(1)求椭圆C的方程.
(2)不经过点的直线被圆截得的弦长与椭圆C的长轴长相等,且直线与椭圆C交于D,E两点,试判断的周长是否为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由.
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【题目】设是由满足下列性质的函数构成的集合:在函数的定义城内存在,使得成立,已知下列函数:①;②;③;④. 其中属于集合的函数是________. (写出所有满足要求的函数的序号)
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