Question

（14分）已知函数，其中a是实数．设A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））为该函数图象上的两点，且x₁＜x₂．
（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x₂＜0，证明：x₂﹣x₁≥1；
（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）函数f（x）的单调减区间（﹣∞，﹣1），函数f（x）的单调增区间[﹣1，0），（0，+∞）
（Ⅱ）见解析
（Ⅲ）（﹣ln2﹣1，+∞）

（I）函数f（x）的单调减区间（﹣∞，﹣1），函数f（x）的单调增区间[﹣1，0），（0，+∞）；
（II）由导数的几何意义知，点A处的切线的斜率为f′（x₁），点B处的切线的斜率为f′（x₂），
函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直时，有f′（x₁）f′（x₂）=﹣1，
当x＜0时，（2x₁+2）（2x₂+2）=﹣1，∵x₁＜x₂＜0，∴2x₁+2＜0，2x₂+2＞0，
∴x₂﹣x₁=[﹣（2x₁+2）+（2x₂+2）]≥=1，
∴若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，有x₂﹣x₁≥1；
（III）当x₁＜x₂＜0，或0＜x₁＜x₂时，f′（x₁）≠f′（x₂），故x₁＜0＜x₂，
当x₁＜0时，函数f（x）在点A（x₁，f（x₁））处的切线方程为y﹣（x+2x₁+a）=（2x₁+2）（x﹣x₁）；
当x₂＞0时，函数f（x）在点B（x₂，f（x₂））处的切线方程为y﹣lnx₂=（x﹣x₂）；
两直线重合的充要条件是，
由①及x₁＜0＜x₂得0＜＜2，由①②得a=lnx₂+（）²﹣1=﹣ln+（）²﹣1，
令t=，则0＜t＜2，且a=t²﹣t﹣lnt，设h（t）=t²﹣t﹣lnt，（0＜t＜2）
则h′（t）=t﹣1﹣=，∴h（t）在（0，2）为减函数，
则h（t）＞h（2）=﹣ln2﹣1，∴a＞﹣ln2﹣1，
∴若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，a的取值范围（﹣ln2﹣1，+∞）．