Question

4．已知θ∈（0，π），且$sin（θ-\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{10}$，则sinθ+cosθ=$\frac{7}{5}$．

Answer 1

分析 由条件利用两角和差的正弦公式求得sinθ-cosθ 和2sinθ•cosθ 的值，再利用同角三角函数的基本关系求得sinθ+cosθ=$\sqrt{{（sinθ+cosθ）}^{2}}$=$\sqrt{{（sinθ-cosθ）}^{2}+4sinθcosθ}$ 的值．

解答 解：∵θ∈（0，π），且$sin（θ-\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{10}$=sinθ•$\frac{\sqrt{2}}{2}$-cosθ•$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴sinθ-cosθ=$\frac{1}{5}$，2sinθ•cosθ=$\frac{24}{25}$，
 则sinθ+cosθ=$\sqrt{{（sinθ+cosθ）}^{2}}$=$\sqrt{{（sinθ-cosθ）}^{2}+4sinθcosθ}$=$\sqrt{\frac{1}{25}+\frac{48}{25}}$=$\frac{7}{5}$，
故答案为：$\frac{7}{5}$．

点评 本题主要考查两角和差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．