精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
如图所示,某人想制造一个支架,它由四根金属杆构成,其底端三点均匀地固定在半径为的圆上(圆在地面上),三点相异且共线,与地面垂直. 现要求点到地面的距离恰为,记用料总长为,设

(1)试将表示为的函数,并注明定义域;
(2)当的正弦值是多少时,用料最省?
(1);(2)

试题分析:(1)由已知三点相异且共线,与地面垂直,且三点均匀地固定在半径为的圆上,所以是全等的直角三角形,从而有,进而可得,再由点到地面的距离恰为;从而由可将L表示为的函数;其定义域由图形可知:,而当PH最短时角为最大,但由于三点相异,所以小于该最大值,从而求得其定义域;(2)用料最省,即L取得最小值;由(1)的函数利用导数方法来求使其取得最小值的的值:先求出L的导函数,再令其等于零求出对应的的值,再讨论函数的单调性就可确定的值.
试题解析:(1)因与地面垂直,且,则是全等的直角三角形,又圆的半径为3,
所以,                               3分
,所以,                        6分
若点重合,则,即,所以
从而.                                   7分
(2)由(1)知
所以,当时,,                             11分
,当时,;当时,
所以函数L在上单调递减,在上单调递增,                       15分
所以当,即时,L有最小值,此时用料最省.                     16分
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

某地上年度电价为0.8元,年用电量为1亿千瓦时.本年度计划将电价调至0.55元~0.75元之间,经测算,若电价调至元,则本年度新增用电量(亿千瓦时)与元成反比例.又当时,
(1)求之间的函数关系式;
(2)若每千瓦时电的成本价为0.3元,则电价调至多少时,本年度电力部门的收益将比上年增加20%?[收益用电量(实际电价-成本价)]

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

某单位有员工1000名,平均每人每年创造利润10万元。为了增加企业竞争力,决定优化产业结构,调整出名员工从事第三产业,调整后他们平均每人每年创造利为万元,剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高.
(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润,则最多调整出多少名员工从事第三产业?
(2)在(1)的条件下,若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润,则的取值范围是多少?

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数
(1)讨论函数的单调性;
(2)证明:若,则对任意,有

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

销售甲、乙两种商品所得利润分别为P(单位:万元)和Q(单位:万元),它们与投入资金(单位:万元)的关系有经验公式, .  今将3万元资金投入经营甲、乙两种商品,其中对甲种商品投资(单位:万元)
(1)试建立总利润(单位:万元)关于的函数关系式,并指明函数定义域;
(2)如何投资经营甲、乙两种商品,才能使得总利润最大.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知命题p:?x∈R,x2+x+1≥0,则命题p的否定¬p为(  )
A.?x∈R,x2+x+1<0B.?x∉R,x2+x+1<0
C.?x∉R,x2+x+1<0D.?x∈R,x2+x+1<0

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

命题p:?x∈R,x3+3x>0,则?p是(  )
A.?x∈R,x3+3x≥0B.?x∈R,x3+3x≤0
C.?x∈R,x3+3x≥0D.?x∈R,x3+3x≤0

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

要制作一个容积为,高为1m的无盖长方体容器,已知该溶器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是是每平方米10元,则该容器的最低总造价是(   )
A.80元B.120元C.160元D.240元

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

函数y=-sin x+2的最大值是 (       ).
A.2B.3C.4 D.5

查看答案和解析>>

同步练习册答案