Question

10．过点M（0，4）的直线l交抛物线x²=4y于AA，B两点，若△AOM与△BOM的面积比为2：1（O为坐标原点），则直线l的斜率为±$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 直线l方程为y=kx+4，代入椭圆方程，由韦达定理，三角形的面积公式，即可求得A和B点坐标，代入求得求得直线的斜率．

解答 解：设直线l方程为y=kx+4，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+4}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，整理得：x²-4kx-16=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-16，
△AOM与△BOM的面积比为2：1，
∴丨x₁丨=2丨x₂丨，则x₁=-2x₂，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-4\sqrt{2}}\\{{x}_{2}=2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=4\sqrt{2}}\\{{x}_{2}=-2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
直线l的斜率$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，韦达定理，三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题．