Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=2-（

2

n

+1）a_n（n≥1）．
（1）求证：数列{

an

n

}是等比数列；
（2）设数列{2ⁿa_n}的前n项和为T_n，A_n=

1

T1

+

1

T2

+

1

T3

+…+

1

Tn

．试比较A_n与

2

nan

的大小．

Answer 1

分析：（1）由a₁=S₁=2-3a₁得a₁=

1

2

，由S_n=2-（

2

n

+1）a_n得S_n-1=2-（

2

n-1

+1）a_n-1，由此能证明数列{

an

n

}是等比数列．
（2）由

an

n

=

1

2

×(

1

2

)n-1=

1

2n

，知2ⁿa_n=n，T_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，

1

Tn

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，A_n=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+(

1

n

-

1

n+1

)=2（1-

1

n+1

）=

2n

n+1

．又

2

nan

=

2n+1

n2

，问题转化为比较

2n

n2

与

n

n+1

的大小．

解答：解：（1）由a₁=S₁=2-3a₁得a₁=

1

2

，
由S_n=2-（

2

n

+1）a_n得S_n-1=2-（

2

n-1

+1）a_n-1，
于是a_n=S_n-S_n-1=（

2

n-1

+1）a_n-1-（

2

n

+1）a_n，
整理得

an

n

=

1

2

×

an-1

n-1

（n≥2），
所以数列{

an

n

}是首项及公比均为

1

2

的等比数列．
（2）由（Ⅰ）得

an

n

=

1

2

×(

1

2

)n-1=

1

2n

．
于是2ⁿa_n=n，T_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，

1

Tn

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，
A_n=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+(

1

n

-

1

n+1

)=2（1-

1

n+1

）=

2n

n+1

．

又

2

nan

=

2n+1

n2

，问题转化为比较

2n+1

n2

与

2n

n+1

的大小，即

2n

n2

与

n

n+1

的大小．
设f（n）=

2n

n2

，g（n）=

n

n+1

．
∵f（n+1）-f（n）=

2n[n(n-2)-1]

[n(n+1)]2

，当n≥3时，f（n+1）-f（n）＞0，
∴当n≥3时f（n）单调递增，
∴当n≥4时，f（n）≥f（4）=1，而g（n）＜1，∴当n≥4时f（n）＞g（n），
经检验n=1，2，3时，仍有f（n）≥g（n），
因此，对任意正整数n，都有f（n）＞g（n），
即A_n＜

2

nan

．

点评：本题考查数列的等比数列的证明方法和数列与不等式的综合运用，解题时要注意合理地进行等价转化．