Question

已知抛物线C：y²＝2px(p>0)过点A(1，－2)．
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）x＝－1   （2）存在，其方程为2x＋y－1＝0．

(1)将(1，－2)代入y²＝2px，得(－2)²＝2p·1，
所以p＝2．
故所求的抛物线C的方程为y²＝4x，
其准线方程为x＝－1．
(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t．
由，得y²＋2y－2t＝0．
因为直线l与抛物线C有公共点，
所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－．
另一方面，由直线OA到l的距离d＝可得＝，解得t＝±1．
因为－1∉[－，＋∞)，1∈[－，＋∞)，
所以符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0．