Question

把函数f（x）=sin²x-2sinxcosx+3cos²x（x∈R）的图象按向量平移，所得函数y=g（x）的图象关于直线对称．
（1）设有不等的实数x₁、x₂∈（0，π），且f（x₁）=f（x₂）=1，求x₁+x₂的值；
（2）求m的最小值；
（3）当m取最小值时，求函数y=g（x）的单调递增区间．

Answer 1

解：（1）f（x）=cos2x-sin2x+2，∴，∵f（x₁）=f（x₂）=1，
∴，，故 x= 过函数图象的最低点，
∴．
（2）移后的表达式用（x，y）表示，则 ，∴．
由于 关于 对称，∴，
∴，k∈Z，∴m_min= 解得k=4．
（3），由 2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈z，解得
kπ-≤x≤kπ+，故函数的减区间为 ，k∈Z．
分析：（1），由f（x₁）=f（x₂）=1得到，，
故 x= 过函数图象的最低点，可得 ．
（2）移后的表达式用（x，y）表示，则 ，由于 关于 对称，可得 ，m_min=．
（3），由 2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈z，求出函数y=g（x）的单调递增区间．
点评：本题考查余弦函数的单调性、对称性，y=Asin（ωx+∅）的图象的变换，求出g（x）的解析式，是解题的难点．