Question

抛物线y²=2px的准线的方程为x=-2，该抛物线上的每个点到准线x=-2的距离都与到定点N的距离相等，圆N是以N为圆心，同时与直线l₁：y=x和l₂：y=-x相切的圆．
（1）求定点N的坐标； 
（2）是否存在一条直线l同时满足下列条件：
①l分别与直线l₁和l₂交于A、B两点，且AB中点为E（4，1）；
②l被圆N截得的弦长为2．

Answer 1

【答案】分析：（1）因为抛物线y²=2px的准线的方程为x=-2，所以p=4，再根据抛物线的定义可求出定点N的坐标．
（2）假设存在直线l满足两个条件，显然l斜率存在，设l的方程为y-1=k（x-4），（k≠±1）以N为圆心，同时与直线l₁：y=x和l₂：y=-x相切的圆N的半径为，因为l被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，由此入手能够推导出不存在满足条件的直线l．
解答：解：（1）因为抛物线y²=2px的准线的方程为x=-2
所以p=4，根据抛物线的定义可知：
点N是抛物线的焦点，
所以定点N的坐标为（2，0）
（2）解：假设存在直线l满足两个条件，显然l斜率存在，
设l的方程为y-1=k（x-4），（k≠±1）
以N为圆心，同时与直线l₁：y=x和l₂：y=-x相切的圆N的
半径为，因为l被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，
即，
解得，
当k=0时，显然不合AB中点为E（4，1）的条件，矛盾！
当时，l的方程为4x-3y-13=0
由，解得点A坐标为（13，13），
由，解得点B坐标为，
显然AB中点不是E（4，1），矛盾！
所以不存在满足条件的直线l．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的综合运用，具有一定的难度，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．