Question

15．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+x，x≤1}\\{lo{g}_{\frac{1}{3}}x，x＞1}\end{array}\right.$，若对任意的x∈R，不等式f（x）≤$\frac{5}{4}$m-m²恒成立，则实数m的取值范围为（　　）

• A． [-1，$\frac{1}{4}$]
• B． [$\frac{1}{4}$，1]
• C． [-2，$\frac{1}{4}$]
• D． [$\frac{1}{3}$，1]

Answer 1

分析 讨论x＞1时，运用对数函数的单调性，可得f（x）＜0；x≤1时，由二次函数的性质可得f（x）的最大值，由题意可得$\frac{5}{4}$m-m²≥$\frac{1}{4}$，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：由f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+x，x≤1}\\{lo{g}_{\frac{1}{3}}x，x＞1}\end{array}\right.$，
可得当x＞1时，f（x）=log${\;}_{\frac{1}{3}}$x递减，可得f（x）＜0；
x≤1时，f（x）=-x²+x=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，当x=$\frac{1}{2}$时，f（x）取得最大值$\frac{1}{4}$．
则f（x）的最大值为$\frac{1}{4}$．
由对任意的x∈R，不等式f（x）≤$\frac{5}{4}$m-m²恒成立，
可得$\frac{5}{4}$m-m²≥$\frac{1}{4}$，
解得$\frac{1}{4}$≤m≤1．
故选：B．

点评 本题考查分段函数的运用：求最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想，考查化简整理的运算能力，属于中档题．