Question

二次函数f（x）满足f（0）=f（1）=0，且最小值是-

1

4

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设常数t∈( 0 ， 

1

2

 )，求直线：y=t²-t与f（x）的图象以及y轴所围成封闭图形的面积是S（t）；
（3）已知m≥0，n≥0，求证：

1

2

( m+n )2+

1

4

( m+n )≥m

n

+n

m

．

Answer 1

分析：（1）利用已知条件选择待定系数法确定函数解析式是解决本题的关键，充分借助二次函数的对称性解决该问题可以事半功倍；
（2）利用定积分表示出所求的图形面积是解决本题的关键，得出关于t的函数关系即是S（t）；
（3）利用均值不等式进行放缩是证明该不等式的关键，根据已知的函数可以得出关于m，n的不等式．

解答：解：（1）由二次函数图象的对称性，可设f（x）=a（x-

1

2

）²-

1

4

，
又f（0）=0，∴a=1，
故f（x）=x²-x．
（2）据题意，直线l与f（x）的图象的交点坐标为（t，t²-t），由定积分的几何意义知，
g（t）=S₁（t）+

1

2

S₂（t）=-

∫

t 0

[（t²-t）-（x²-x）]dx-

∫

1 2 t

[（x²-x）-（t²-t）]dx
=

∫

t 0

[（x²-x）-（t²-t）]dx+

∫

1 2 t

[（t²-t）-（x²-x）]dx
=[（

x3

3

-

x2

2

）-（t²-t）x]

|

t 0

+[（t²-t）x-（

x3

3

-

x2

2

）]

|

1 2 t

=-

4

3

t³+

3

2

t²-

1

2

t+

1

12

．
（3）∵f（x）的最小值为-

1

4

，
∴m-

m

≥-

1

4

 ①
n-

n

≥-

1

4

 ②
①+②得：m+n+

1

2

≥

m

+

n

③
又

1

2

（m+n）²+

1

4

 （m+n）=

1

2

（m+n）（m+n+

1

2

）
由均值不等式和③知：

1

2

（m+n）≥

mn

；m+n+

1

2

≥

m

+

n

，
故

1

2

（m+n）²+

1

4

 （m+n）=

1

2

（m+n）（m+n+

1

2

）≥

mn

（

m

+

n

）=m

n

+n

m

．

点评：本题考查函数解析式的求解，考查二次函数的对称性．考查定积分求解曲边图形面积的思想和方法，导数求函数最值的工具作用．考查函数思想解决证明不等式问题、用到了均值定理进行放缩．