Question

设关于x的一元二次方程ax²+x+1=0（a＞0）有两个实根x₁，x₂，
（1）求（1+x₁）（1+x₂）的值；
（2）求证：x₁＜-1且x₂＜-1；（3）若

x1

x2

∈[

1

10

，10]，试求a的最大值．

Answer 1

分析：（1）由已知中关于x的一元二次方程ax²+x+1=0（a＞0）有两个实根x₁，x₂，由韦达定理可得x₁+₂=-

1

a

，x_1•x₂=

1

a

，代入（1+x₁）（1+x₂）的展开式，即可求出（1+x₁）（1+x₂）的值．
（2）由已知结合一元二次方程根的个数与△符号的关系，可得△≥0，进而可以判断出a的取值范围，进而判断出f（-1）=a＞0，进而得到x₁＜-1且x₂＜-1；
（3）结合（1）（2）的结论，我们可以给出a的表达式，进而根据二次函数的性质，得到a的最大值．

解答：解：（1）∵关于x的一元二次方程ax²+x+1=0（a＞0）有两个实根x₁，x₂，
由韦达定理可得x₁+₂=-

1

a

，x_1•x₂=

1

a

，
（1+x₁）（1+x₂）=1+x₁+x₂+x₁•x₂=1-

1

a

+

1

a

=1
（2）由方程的△≥0，可推得二次函数f（x）=ax²+x+1图象的对称轴
x=-

1

2a

＜-1，又由于f（-1）=a＞0，
所以f（x）的图象与x轴的交点均位于（-1，0）的左侧，故得证；
（3）结合（1）的结论可得，-

1

x2

∈[

1

11

，

10

11

]，
而a=

1

x1x2

=-[(-

1

x2

)-

1

2

]2+

1

4

．
所以a的最大值为

1

4

．

点评：本题考查的知识点是一元二次方程的根的分布与系数关系，其中（1）的关键是由韦达定理求出x₁+₂=-

1

a

，x_1•x₂=

1

a

，（2）的关键是根据△≥0，判断出a的取值范围，（3）的关键是结合（1）（2）的结论，给出a的表达式．