Question

2．已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=x²+ax+1（a＞0），若f（x）、g（x）的图象在y轴上的截距相等．
（1）求a的值；
（2）设h（x）=f（x）+g（x），作函数h（x）的图象，并写出其单调区间．

Answer 1

分析 （1）由已知中函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等，结合函数f（x）=|x-a|，g（x）=x²+2ax+1（a为正常数），我们可以构造关于a的方程，解方程可以求出a的值
（2）由（1）中结论，我们可以得到函数h（x）=f（x）+g（x）的解析式，利用零点分段法，我们可以将其转化为分段函数的形式，再由图象，即可分析出函数的单调递增区间．

解答 解：（1）∵函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等
∴f（0）=g（0），即|a|=1，
又a＞0，
∴a=1． 
（2）由（1）可知f（x）=|x-1|，g（x）=x²+2x+1，
∴h（x）=f（x）+g（x）=|x-1|+x²+2x+1=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+3x，x≥1}\\{{x}^{2}+x+2，x＜1}\end{array}\right.$，其图象为：
有图可知，h（x）在（-∞，-$\frac{1}{2}$）上单调递减，在[$\frac{1}{2}$，+∞）单调递增．

点评 本题考查的知识点是函数与方程的综合运用，函数的单调性及单调区间，零点分段法，二次函数的性质，其中利用零点分段法将函数的解析式化为分段函数的形式，画出图象是解答本题的关键．