【题目】已知椭圆: ()的左焦点为,左准线方程为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知直线交椭圆于, 两点.
①若直线经过椭圆的左焦点,交轴于点,且满足, .求证: 为定值;
②若(为原点),求面积的取值范围.
【答案】(1)(2)①②
【解析】试题分析:(1)根据左焦点坐标得,根据左准线方程得,解方程组得,(2)①以算代证:即利用, 坐标表示,根据直线的方程与椭圆方程联立方程组,结合韦达定理化简得定值,②的面积,因此根据直线的方程与椭圆方程联立方程组,结合韦达定理及弦长公式求(用斜率表示),同理可得,代入面积公式化简可得.最后利用二次函数方法求值域,注意讨论斜率不存在的情形.
试题解析:解:(1)由题设知, , ,
, ,
: .
(2)①由题设知直线的斜率存在,设直线的方程为,则.
设, ,直线代入椭圆得,整理得,
, , .
由, 知, ,
(定值).
②当直线, 分别与坐标轴重合时,易知的面积,
当直线, 的斜率均存在且不为零时,设: , : ,
设, ,将代入椭圆得到,
, ,同理, ,
的面积 .
令 , ,
令,则 .
综上所述, .
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【题目】请你设计一个包装盒.如图所示,ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E、F在AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设AE=FB=x(cm).
(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值?
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
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【题目】某家具厂有方木料,五合板,准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料,五合板,生产每个书橱需要方木料,五合板,出售一张书桌可获利润元,出售一个书橱可获利润元.
(1)如果只安排生产书桌,可获利润多少?
(2)如果只安排生产书橱,可获利润多少?
(3)怎样安排生产可使所得利润最大?
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【题目】设函数f(x)= sin ,若存在f(x)的极值点x0满足x02+[f(x0)]2<m2 , 则m的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣6)∪(6,+∞)
B.(﹣∞,﹣4)∪(4,+∞)
C.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)
D.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)
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【题目】已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球.一项游戏规定:每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分,每一局从袋中一次性取出三个球,将3个球对应的分值相加后称为该局的得分,计算完得分后将球放回袋中.当出现第局得分()的情况就算游戏过关,同时游戏结束,若四局过后仍未过关,游戏也结束.
(1)求在一局游戏中得3分的概率;
(2)求游戏结束时局数的分布列和数学期望.
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【题目】如图已知椭圆C: +y2=1,以椭圆的左顶点T为圆心作圆T:(x+2)2+y2=r2(r>0).设圆T与椭圆C交于点M与点N.
(1)求 的最小值;
(2)设点P是椭圆C上异于M,N的任意一点,且直线MP,NP分别与x轴交于点R,S,O为坐标原点,求证:丨OR丨丨OS丨为定值.
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【题目】已知函数f(x)=ax+ 的图象经过点A(1,1),B(2,﹣1).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性并用定义证明;
(3)求f(x)在区间[ ,1]上的值域.
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