Question

在三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足=．
（1）求角A的大小；
（2）若a=4，三角形ABC的面符号为S，求S的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用向量共线的坐标运算可求得（2b-c）cosA-accosC=0，再利用正弦定理可求得cosA=，从而可求得角A的大小；
（2）依题意，利用余弦定理与基本不等式可求得bc≤16，由三角形的面积公式即可求得△ABC的面积S的最大值．
解答：解：（1）∵=（2b-c，cosC），=（a，cosA），且∥，
∴（2b-c）cosA-accosC=0，…2′
∴（2sinB-sinC）cosA-sinAcosC=0，
∴2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，
在三角形ABC中，sinB＞0，
∴cosA=，故A=；…6′
（2）∵A=，a=4，
∴a²=b²+c²-2bccosA，即16=b²+c²-bc…8′
∴16=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc（当且仅当b=c时取等号），…10′
∴S=bcsinA≤×16×=4，…12′
点评：本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查余弦定理与基本不等式及三角形的面积公式，考查向量共线的坐标运算，属于中档题．