Question

已知函数f（x）和g（x）的定义域都是R，f（x）是奇函数，g（x）是偶函数．
（1）判断F（x）=[f（x）]²-g（x）的奇偶性；
（2）如果f（x）+g（x）=2^x+x，求函数f（x）和g（x）的解析式．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意，F（x）的定义域为R，F（-x）=[f（-x）]²-g（-x）=[-f（x）]²-g（x）=[f（x）]²-g（x）=F（x），从而判断；
（2）由题意，f（x）+g（x）=2^x+x，-f（x）+g（x）=2^-x-x，从而解出f（x）和g（x）．

解答： 解：（1）F（x）=[f（x）]²-g（x）的定义域为R，
又∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，
∴f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），
∴F（-x）=[f（-x）]²-g（-x）
=[-f（x）]²-g（x）=[f（x）]²-g（x）=F（x），
则F（x）=[f（x）]²-g（x）是偶函数；
（2）∵f（x）+g（x）=2^x+x①，
∴f（-x）+g（-x）=2^-x-x，
即-f（x）+g（x）=2^-x-x②，
由①②联立解得，
g（x）=

2x+2-x

2

，f（x）=

2x-2-x

2

+x．

点评：本题考查了函数的奇偶性的综合应用，注意函数观点转化为方程观点，属于中档题．