Question

3．在△ABC所在平面上有三点P、Q、R，满足$\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{QA}$=2$\overrightarrow{BQ}$，$\overrightarrow{RB}$=2$\overrightarrow{CR}$，则△PQR的面积与△ABC的面积之比为（　　）

• A． 1：5
• B． 1：4
• C． 1：3
• D． 1：2

Answer 1

分析 如图所示，满足$\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{QA}$=2$\overrightarrow{BQ}$，$\overrightarrow{RB}$=2$\overrightarrow{CR}$，可得$AP=\frac{1}{3}AC$，$CR=\frac{1}{3}CB$，$BQ=\frac{1}{3}BA$．可得：$\frac{{S}_{△APQ}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{\frac{1}{2}AP•AQ•sinA}{\frac{1}{2}AC•AB•sinA}$=$\frac{2}{9}$，同理可得$\frac{{S}_{△BQR}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{{S}_{△CPR}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{2}{9}$．即可得出△PQR的面积与△ABC的面积之比．

解答 解：如图所示，
∵满足$\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{QA}$=2$\overrightarrow{BQ}$，$\overrightarrow{RB}$=2$\overrightarrow{CR}$，
∴$AP=\frac{1}{3}AC$，$CR=\frac{1}{3}CB$，$BQ=\frac{1}{3}BA$．
可得：$\frac{{S}_{△APQ}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{\frac{1}{2}AP•AQ•sinA}{\frac{1}{2}AC•AB•sinA}$=$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{2}{9}$，
同理可得$\frac{{S}_{△BQR}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{{S}_{△CPR}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{2}{9}$．
∴△PQR的面积与△ABC的面积之比=$1-\frac{2}{9}×3$=$\frac{1}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查了向量共线定理、三角形面积之比，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．