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3.在△ABC所在平面上有三点P、Q、R,满足$\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{AP}$,$\overrightarrow{QA}$=2$\overrightarrow{BQ}$,$\overrightarrow{RB}$=2$\overrightarrow{CR}$,则△PQR的面积与△ABC的面积之比为(  )
A.1:5B.1:4C.1:3D.1:2

分析 如图所示,满足$\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{AP}$,$\overrightarrow{QA}$=2$\overrightarrow{BQ}$,$\overrightarrow{RB}$=2$\overrightarrow{CR}$,可得$AP=\frac{1}{3}AC$,$CR=\frac{1}{3}CB$,$BQ=\frac{1}{3}BA$.可得:$\frac{{S}_{△APQ}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{\frac{1}{2}AP•AQ•sinA}{\frac{1}{2}AC•AB•sinA}$=$\frac{2}{9}$,同理可得$\frac{{S}_{△BQR}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{{S}_{△CPR}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{2}{9}$.即可得出△PQR的面积与△ABC的面积之比.

解答 解:如图所示,
∵满足$\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{AP}$,$\overrightarrow{QA}$=2$\overrightarrow{BQ}$,$\overrightarrow{RB}$=2$\overrightarrow{CR}$,
∴$AP=\frac{1}{3}AC$,$CR=\frac{1}{3}CB$,$BQ=\frac{1}{3}BA$.
可得:$\frac{{S}_{△APQ}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{\frac{1}{2}AP•AQ•sinA}{\frac{1}{2}AC•AB•sinA}$=$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{2}{9}$,
同理可得$\frac{{S}_{△BQR}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{{S}_{△CPR}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{2}{9}$.
∴△PQR的面积与△ABC的面积之比=$1-\frac{2}{9}×3$=$\frac{1}{3}$.
故选:C.

点评 本题考查了向量共线定理、三角形面积之比,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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