Question

【题目】海州市六一儿童节期间在妇女儿童活动中心举行小学生“海州杯”围棋比赛，规则如下：甲、乙两名选手比赛时，每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或赛满6局时比赛结束.设某校选手甲与另一选手乙比赛时，甲每局获胜的概率皆为，且各局比赛胜负互不影响，已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为.

(1)求的值；

(2)设表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望.

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析.

【解析】试题分析：（1）依据题设比赛结束时须满足“甲连胜2局或乙连胜2局”且这两事件互斥，可借助这一条件建立方程求出；（2）依据题设条件分别求出，，.再运用随机变量的分布列 数学期望公式求出.

试题解析：

(1)依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束，

∴有，解得或.

∵，∴.

(2)依题意知的所有可能值为2，4，6，

设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为，若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.

从而有，，

.

∴随机变量的分布列为：

则.