Question

已知函数f（x）=2sin2(

π

4

x+

π

4

)
（Ⅰ）把f（x）解析式化为f（x）=Asin（ωx+?）+b的形式，并用五点法作出函数f（x）在一个周期上的简图；
（Ⅱ）计算f（1）+f（2）+…+f（2012）的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用倍角公式和诱导公式对函数解析式进行化简，再利用正弦函数的五个关键点进行列表、描点、连线；
（Ⅱ）根据函数解析式先求出周期，再求出一个周期内的函数值的和，进而判断出2012与周期的关系，再求出式子和的值．

解答：解：（Ⅰ）由题意知，f(x)=2sin2(

π

4

x+

π

4

)=1-cos(

π

2

x+

π

2

)=1+sin

π

2

x
列表：

x	0	1	2	3	4
π 2 x	0	π 2	π	3π 2	2π
y=1+sin π 2 x	1	2	1	0	1

描点画图，如图所示：








（Ⅱ）∵f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+1+0+1=4，而y=f（x）的周期为4，且2012=4×503，
∴f（1）+f（2）+…+f（2012）=4×503=2012．

点评：本题是关于三角函数的综合题，涉及了倍角公式、诱导公式的应用，“五点作图法”的步骤，函数周期性的应用求式子的值，考查了分析、解决问题能力和作图能力．