【题目】如图,正方形AMDE的边长为2,B,C分别为AM,MD的中点,在五棱锥P﹣ABCDE中,F为棱PE的中点,平面ABF与棱PD,PC分别交于点G,H.
(1)求证:AB∥FG;
(2)若PA⊥底面ABCDE,且PA=AE,求直线BC与平面ABF所成角的大小,并求线段PH的长.
【答案】
(1)证明:在正方形AMDE中,∵B是AM的中点,
∴AB∥DE,又∵AB平面PDE,∴AB∥平面PDE,
∵AB平面ABF,且平面ABF∩平面PDE=FG,
∴AB∥FG
(2)解:∵PA⊥底面ABCDE,∴PA⊥AB,PA⊥AE,
如图建立空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),
B(1,0,0),C(2,1,0),P(0,0,2),
E(0,2,0),F(0,1,1), ,
设平面ABF的法向量为n=(x,y,z),则
即 ,
令z=1,则y=﹣1,∴n=(0,﹣1,1),
设直线BC与平面ABF所成的角为α,则
sinα=|cos |=| |= ,
∴直线BC与平面ABF所成的角为 ,
设H(u,v,w),∵H在棱PC上,∴可设 ,
即(u,v,w﹣2)=λ(2,1,﹣2),∴u=2λ,v=λ,w=2﹣2λ,∵n是平面ABF的法向量,
∴n =0,即(0,﹣1,1)(2λ,λ,2﹣2λ)=0,解得λ= ,∴H( ),
∴PH= =2.
【解析】(1)运用线面平行的判定定理和性质定理即可证得;(2)由于PA⊥底面ABCDE,底面AMDE为正方形,建立如图的空间直角坐标系Axyz,分别求出A,B,C,E,P,F,及向量BC的坐标,设平面ABF的法向量为n=(x,y,z),求出一个值,设直线BC与平面ABF所成的角为α,运用sinα=|cos |,求出角α;设H(u,v,w),再设 ,用λ表示H的坐标,再由n =0,求出λ和H的坐标,再运用空间两点的距离公式求出PH的长.
【考点精析】本题主要考查了空间角的异面直线所成的角的相关知识点,需要掌握已知为两异面直线,A,C与B,D分别是上的任意两点,所成的角为,则才能正确解答此题.
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【题目】下列三个命题中
①“k=1”是“函数y=cos2kx-sin2kx的最小正周期为π”的充要条件;
②“a=3”是“直线ax+2y+3a=0与直线3x+(a-1)y=a-7相互垂直”的充要条件;
③“双曲线上任意点M到两条渐近线距离的积为定值”的逆否命题
其中是真命题的为________
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【题目】一中最强大脑社对高中学生的记忆力和判断力进行统计分析,得下表数据
参考公式:,.
(1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程 ,预测记忆力为的同学的判断力.
(2)若记忆力增加个单位,预测判断力增加多少个单位?
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【题目】一位数学老师在黑板上写了三个向量,,,其中,都是给定的整数.老师问三位学生这三个向量的关系,甲回答:“与平行,且与垂直”,乙回答:“与平行”,丙回答:“与不垂直也不平行”,最后老师发现只有一位学生判断正确,由此猜测,的值不可能为( )
A. , B. , C. , D.
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【题目】某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位:分钟),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),其中上学所需时间的范围是,样本数据分组为,,,,.
(1)求直方图中x的值;
(2)如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿,若该学校有600名新生,请估计新生中有多少名学生可以申请住宿;
(3)由频率分布直方图估计该校新生上学所需时间的平均值.
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【题目】设是两个不共线的非零向量.
(1)设,,,那么当实数t为何值时,A,B,C三点共线;
(2)若,且与的夹角为60°,那么实数x为何值时的值最小?最小值为多少?
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【题目】如图所示,在三棱柱中, 为正方形,是菱形,平面平面.
(1)求证:平面;
(2)求证: ;
(3)设点E,F,H,G分别是的中点,试判断四点是否共面,并说明理由.
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