Question

18．已知函数f（x）=|2x+1|-|x|-2．
（1）解不等式f（x）≥0；
（2）若对任意的实数x，都有f（x）-2a²≥|x|-3a-2，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）由题意可得，|2x+1|-2|x|≥2a²-3a 恒成立，利用绝对值三角不等式可得 2a²-3a≤1，由此解得a的范围．

解答 解：（1）由不等式f（x）=|2x+1|-|x|-2≥0，可得$\left\{\begin{array}{l}{x≤-\frac{1}{2}}\\{-2x-1-（-x）-2≥0}\end{array}\right.$①，或  $\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}＜x＜0}\\{2x+1-（-x）-2≥0}\end{array}\right.$②，或 $\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{2x+1-x-2≥0}\end{array}\right.$③．
解①求得x≤-3；解②求得x∈∅，解③求得 x≥1．
综上可得，原不等式的解集为{x|x≤-3，或  x≥1}．
（2）若对任意的实数x，都有f（x）-2a²≥|x|-3a-2，则|2x+1|-2|x|≥2a²-3a 恒成立．
又∵|2x+1|-2|x|≤|2x+1-2x|=1，∴2a²-3a≤1，解得$\frac{1}{2}$≤a≤1，
即实数a的取值范围为[$\frac{1}{2}$，1]．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．