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    设椭圆
    x2
    b2
    +
    y2
    a2
    =1（a＞b＞0）的焦点为F1、F2，P是椭圆上任一点，若∠F1PF2的最大值为
    2π
    3
    ．
    （Ⅰ）求椭圆的离心率；
    （Ⅱ）设直线l与椭圆交于M、N两点，且l与以原点为圆心，短轴长为直径的圆相切．已知|MN|的最大值为4，求椭圆的方程和直线l的方程．
    分析：（1）由椭圆的定义可知，|PF1|+|PF2|=2a?，由余弦定理可得，COS∠F1PF2=
    PF12+
    PF
    2
    2
    - F1F22
    2PF1•PF2
    ，代入可求离心率
    （2）由（I）可得e=
    		3
    2
    ，从而可得椭圆方程为y2+4x2=4b2，该直线l：y=kx+m．由直线l与圆x2+y2=b2相切，可得m2=b2（1+k2），联立方程
    y2+4x2=4b2
    y=kx+m
    可得（4+k2）x2+2kmx+m2-4b2=0而|MN|=4
    		3
    b•
    1
    		1+k2
    +
    3
    		1+k2
    ≤2b?可求
    解答：解：∵椭圆方程为
    x2
    b2
    +
    y2
    a2
    =1（a＞b＞0）?
    （1）|PF1|+|PF2|=2a?
    cosF1PF2=
    |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2
    2|PF1|•|PF2|
    =
    4a2-4c2
    2|PF1|•|PF2|
    -1＞1-2e2=-
    1
    2

    ∴e=
    		3
    2

    （2）∵e=
    		3
    2
    ，∴a2=4b2．?
    ∴椭圆方程为y2+4x2=4b2?
    该直线l：y=kx+m．?
    ∵直线l与圆x2+y2=b2相切，∴m2=b2（1+k2）①?
    从
    y2+4x2=4b2
    y=kx+m
    得（4+k2）x2+2kmx+m2-4b2=0
    ∵|MN|=4
    		3
    b•
    1
    		1+k2
    +
    3
    		1+k2
    ≤2b?
    当且仅当k=±
    		2
    时取等号．
    ∴l：y=±
    		2
    x+2
    		3

    此时椭圆方程为：
    x2
    4
    +
    y2
    16
    =1．
    点评：本题主要考查椭圆的性质的简单运用，及直线与椭圆的位置关系的应用，考查了考试的基本运算的能力，属于综合性试题．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆
    x2
    b2
    +
    y2
    a2
    =1    ，（a＞b＞0）上的两点，已知向量
    m
    =（
    x1
    b
    ，
    y1
    a
    ），
    n
    =（
    x2
    b
    ，
    y2
    a
    ），且
    m
    •
    n
    =0    ，若椭圆的离心率e=
    		3
    2
    ，短轴长为2，O为坐标原点：
    （Ⅰ）求椭圆的方程；
    （Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；
    （Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知a＞b＞0F是方程
    x2
    b2
    +
    y2
    a2
    =1    的椭圆E的一个焦点，P、A，B是椭圆E上的点，
    PF
    与x轴平行，
    PF
    =
    a
    4
    ，设A（x1，y1），B（x2，y2），
    i
    =(
    x1
    b
    ，
    y1
    a
    )    ，
    n
    =(
    x2
    b
    ，
    y2
    a
    )    ，
    i
    ⊥
    n
    原点O与A、B两点构成的△AOB的面积为S
    （I ）求椭圆E的离心率
    （II）设椭圆E上的点与椭圆£的长轴的两个端点构成的三角形的面积的最大值等于2，S是否为定值？如果是，求出这个定值：如果不是，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设椭圆M：
    y2
    a2
    +
    x2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的离心率与双曲线x2-y2=1的离心率互为倒数，且内切于圆x2+y2=4．
    （1）求椭圆M的方程；
    （2）若直线y=
    		2
    x+m交椭圆于A、B两点，椭圆上一点P(1，
    		2
    )    ，求△PAB面积的最大值．

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    科目：高中数学 来源：河南模拟 题型：解答题

    设椭圆M：
    y2
    a2
    +
    x2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的离心率与双曲线x2-y2=1的离心率互为倒数，且内切于圆x2+y2=4．
    （1）求椭圆M的方程；
    （2）若直线y=
    		2
    x+m交椭圆于A、B两点，椭圆上一点P(1，
    		2
    )    ，求△PAB面积的最大值．

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    设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆
    x2
    b2
    +
    y2
    a2
    =1    ，（a＞b＞0）上的两点，已知向量
    m
    =（
    x1
    b
    ，
    y1
    a
    ），
    n
    =（
    x2
    b
    ，
    y2
    a
    ），且
    m
    •
    n
    =0    ，若椭圆的离心率e=
    		3
    2
    ，短轴长为2，O为坐标原点：
    （Ⅰ）求椭圆的方程；
    （Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；
    （Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

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