Question

已知某质点的运动方程为s（t）=t³+bt²+ct+d，如图是其运动轨迹的一部分，若t∈[

1

2

，4]时，s（t）＜3d²恒成立，求d的取值范围．

Answer 1

分析：结合图象发现s（t）在t=1和t=3处取得极值，可建立两个等式，解出b与c的值，根据单调性求出s（t）在[

1

2

，4]上的最大值，使s（t）_max＜3d²，解出不等式即可．

解答：解：s'（t）=3t²+2bt+c．
由图象可知，s（t）在t=1和t=3处取得极值．
则s'（1）=0，s'（3）=0．
即

3+2b+c=0 27+6b+c=0

解得

b=-6 c=9

s'（t）=3t²-12t+9=3（t-1）（t-3）．
当t∈[

1

2

，1）时，s'（t）＞0．
当t∈（1，3）时，s'（t）＜0．
当t∈（3，4）时，s'（t）＞0．
则当t=1时，s（t）取得极大值为4+d．
又s（4）=4+d，
故t∈[

1

2

，4]时，s（t）的最大值为4+d．
已知s（t）＜3d²在

1

2

，4]上恒成立，
∴s（t）_max＜3d²．即4+d＜3d²．
解得d＞

4

3

或d＜-1．
∴d的取值范围是{d|d＞

4

3

或d＜-1}．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数恒成立问题等有关知识，属于中档题．