Question

对函数y=f(x)定义域中任一个x的值均有f(x+a)=f(a－x),

(1)求证y=f(x)的图像关于直线x=a对称；

(2)若函数f(x)对一切实数x都有f(x+2)=f(2－x),且方程f(x)=0恰好有四个不同实根，求这些实根之和。

Answer 1

(1) 证明略(2) f(x)=0的四根之和为8

解析:

  设(x₀,y₀)是函数y=f(x)图像上任一点，则y₀=f(x₀),

∵=a,　∴点(x₀,y₀)与(2a－x₀,y₀)关于直线x=a对称，

又f(a+x)=f(a－x),

∴f(2a－x₀)=f［a+(a－x₀)］=f［a－(a－x₀)］=f(x₀)=y₀,

∴(2a－x₀,y₀)也在函数的图像上，

故y=f(x)的图像关于直线x=a对称.

(2)解：由f(2+x)=f(2－x)得y=f(x)的图像关于直线x=2对称，

若x₀是f(x)=0的根，则4－x₀也是f(x)=0的根，

若x₁是f(x)=0的根，则4－x₁也是f(x)=0的根，

∴x₀+(4－x₀)+ x₁+(4－x₁)=8

即f(x)=0的四根之和为8.