Question

已知F₁，F₂是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点，点M在椭圆C上，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆C的右焦点F．
（Ⅰ）若圆M与y轴相切，求椭圆的离心率；
（Ⅱ）当a=2，试探究在椭圆C上是否存在点P，使得

PF1

•

PF2

=0成立？若存在，请求出b的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设M（x₀，y₀），圆M的半径为r，所以x₀=c=r=|y₀|，将x₀=c代入椭圆方程得|y₀|=

b2

a

，进而得到关于a与c的关系式即可求出离心率e的值．
（Ⅱ）假设存在点P，则PF₁⊥PF₂，所以（|PF₁|+|PF₂|）²-2|PF₁||PF₂|=|F₁F₂|²，再根据椭圆的定义可得：(4)2-2|PF1||PF2|=(2

4-b2

)2，然后结合基本不等式求出b的范围．

解答：解：（Ⅰ）设M（x₀，y₀），圆M的半径为r，依题意得x₀=c=r=|y₀|．（2分）
将x₀=c代入椭圆方程得|y₀|=

b2

a

，
所以c=

b2

a

，
又因为b²=a²-c²，
所以可得：c²+ac-a²=0，（4分）
两边除以a²，得e²+e-1=0，
解得e=

-1± 5

2

．（5分）
因为 e∈（0，1），
所以 e=

5 -1

2

．（6分）
（Ⅱ）若存在点P，使得

PF1

•

PF2

=0成立，
则PF₁⊥PF₂，（7分）
所以|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²，即（|PF₁|+|PF₂|）²-2|PF₁||PF₂|=|F₁F₂|²，
所以(4)2-2|PF1||PF2|=(2

4-b2

)2，
所以4b2=2|PF1||PF2|≤2(

|PF1|+|PF2|

2

)2=2(

4

2

)2=8，（6分）
解得b²≤2，即b的取值范围为(0，

2

]．（12分）

点评：解决此类问题关键是熟练掌握圆与直线的位置关系，以及椭圆的定义并且掌握利用基本不等式求范围问题，此题是一道综合性较强的题，属于难题．