Question

（2012•广东模拟）在实数的原有运算法则中，定义新运算a?b=3a-b，则|x?（4-x）|+|（1-x）?x|＞8的解集为

{x|x＜-

1

8

，x＞

15

8

}

．

Answer 1

分析：根据定义新运算a?b=3a-b，原不等式化为|x-1|+|x-

3

4

|＞2，转化为与之等价的三个不等式组，分别解出这三个不等式组的解集，再把这三个解集取并集，即得所求．

解答：解：|x?（4-x）|+|（1-x）?x|＞8，即|3x-（4-x）|+|3（1-x）-x|＞8，即|4x-4|+|3-4x|＞8，
即|x-1|+|x-

3

4

|＞2．
∴①

x＜ 3 4 1-x+ 3 4 -x＞2

，或②

3 4 ≤x＜1 1-x+x- 3 4 ＞2

，或 ③

x≥1 x-1+x- 3 4 ＞2

．
解①得 x＜-

1

8

． 解②得 x∈∅．解③得 x＞

15

8

．
综上，不等式的解集为 {x|x＜-

1

8

，x＞

15

8

}，
故答案为 {x|x＜-

1

8

，x＞

15

8

}．

点评：本题主要考查定义新运算a?b=3a-b，绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解．体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．