Question

如图，已知圆O的直径AB=4，定直线L到圆心的距离为4，且直线L垂直直线AB．点P是圆O上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交L与M、N点．
（Ⅰ）若∠PAB=30°，求以MN为直径的圆方程；
（Ⅱ）当点P变化时，求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点．

Answer 1

分析：（Ⅰ）建立如图所示的直角坐标系，由条件求得M、N两点的坐标，即可求得以MN为直径的圆的方程．
（Ⅱ）设点P的坐标为（x₀，y₀），求得 M（4，

6y0

x0+2

）、N（4，

2y0

x0-2

），以及MN的值，求得MN的中点，
坐标为（4，

4(x0-1)

y0

），由此求得以MN为直径的圆截x轴的线段长度为 2

4(x0-4)2 y02 - 16(x0-1)2 y02

，化简可得结果．

解答：解：（Ⅰ）以AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立如直角坐标系，
由于⊙O的方程为x²+y²=4，直线L的方程为x=4，∠PAB=30°，∴点P的坐标为（1，

3

），
∴l_AP：y=

3

3

 （x+2），l_BP：y=-

3

（x-2）．
将x=4代入，得M（4，2

3

），N（4，-2

3

）．
∴MN的中点坐标为（4，0），MN=4

3

．∴以MN为直径的圆的方程为（x-4）²+y²=12．
同理，当点P在x轴下方时，所求圆的方程仍是 （x-4）²+y²=12．…（6分）
（Ⅱ）设点P的坐标为（x₀，y₀），则 x02+y02=4 （y₀≠0），∴y02=4-x02．
∵直线AP：y=

y0

x0+2

（x+2），直线BP：y=

y0

x0-2

（x-2），将x=4代入，得 y_M=

6y0

x0+2

，y_N=

2y0

x0-2

．
∴M（4，

6y0

x0+2

）、N（4，

2y0

x0-2

），MN=|

6y0

x0+2

-

2y0

x0-2

|=

4|x0-4|

|y0|

，
故MN的中点坐标为（4，

4x0-4

y0

 ）．
以MN为直径的圆截x轴的线段长度为 2

4(x0-4)2 y02 - 16(x0-1)2 y02

=

4

|y0|

•

12-3x02

=

4 3

|y0|

•

4-x02

=

4 3

|y0|

•| y0|=4

3

 为定值．
再根据以MN为直径的圆O′的半径为2

3

，AB的中点O到直线MN的距离等于4，故O′为线段MN的中点，
可得⊙O′必过⊙O 内定点（4-2

3

，0）．

点评：本题主要考查求圆的标准方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，属于中档题．