Question

17．某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示）．规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败（满分100分）．
（Ⅰ）求图中a的值；
（Ⅱ）根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？

	晋级成功	晋级失败	合计
男	16
女			50
合计

（参考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）

P（K2≥k）	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025
k	0.780	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024

（Ⅲ）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X，求X的分布列与数学期望E（X）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据频率和为1，列方程求出a的值；
（Ⅱ）由频率分布直方图计算晋级成功的频率，填写列联表，计算观测值K²，对照临界值得出能有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关；
（Ⅲ）由晋级失败的频率估计概率，得X～B（4，$\frac{3}{4}$），计算对应的概率，写出X的分布列，计算数学期望值．

解答 解：（Ⅰ）根据频率和为1，列方程得：
（2a+0.020+0.030+0.040）×10=1，
解得a=0.005；
（Ⅱ）由频率分布直方图知，晋级成功的频率为0.20+0.05=0.25；
填写列联表如下，

	晋级成功	晋级失败	合计
男	16	34	50
女	9	41	50
合计	25	75	100

计算观测值K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{100{×（16×41-9×34）}^{2}}{50×50×25×75}$≈2.613＞2.072，
对照临界值得，能有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关；
（Ⅲ）由频率分布直方图知晋级失败的频率视为1-0.25=0.75，
故晋级失败的概率为0.75；
从本次考试的所有人员中随机抽取4人，记这4人中晋级失败的人数为X，
则X～B（4，$\frac{3}{4}$），且P（X=k）=${C}_{4}^{k}$•${（\frac{3}{4}）}^{k}$•${（1-\frac{3}{4}）}^{4-k}$（k=0，1，2，3，4）；
∴P（X=0）=${C}_{4}^{0}$•$（{\frac{3}{4}）}^{0}$•${（\frac{1}{4}）}^{4}$=$\frac{1}{256}$，P（X=1）=${C}_{4}^{1}$•${（\frac{3}{4}）}^{1}$•${（\frac{1}{4}）}^{3}$=$\frac{3}{64}$，
P（X=2）=${C}_{4}^{2}$•${（\frac{3}{4}）}^{2}$•${（\frac{1}{4}）}^{2}$=$\frac{54}{256}$，P（X=3）=${C}_{4}^{3}$•${（\frac{3}{4}）}^{3}$•${（\frac{1}{4}）}^{1}$=$\frac{108}{256}$，
P（X=4）=${C}_{4}^{4}$•${（\frac{3}{4}）}^{4}$•${（\frac{1}{4}）}^{0}$=$\frac{81}{256}$；
∴X的分布列为

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{256}$	$\frac{3}{64}$	$\frac{54}{256}$	$\frac{108}{256}$	$\frac{81}{256}$

X的数学期望为E（X）=4×$\frac{3}{4}$=3．

点评 本题考查了频率分布直方图与独立性检验的问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是综合题．