Question

20．已知点P（x，y）的坐标满足方程：（a²-1）x²+（a²-1）y²-2（a²+1）x+（a²-1）=0（a＞0）．
（1）试讨论点P的轨迹C；
（2）当a=$\sqrt{2}$时，直线y=x+b与轨迹C交于两点M、N，若∠MON=90°，O为坐标原点，求b的值．

Answer 1

分析 （1）对a分类讨论，即可讨论点P的轨迹C；
（2）∠MON=90°，可得O到直线MN的距离$\frac{\sqrt{2}}{2}×2\sqrt{2}$=2，即可求b的值．

解答 解：（1）a＞0，a≠1，方程：（a²-1）x²+（a²-1）y²-2（a²+1）x+（a²-1）=0（a＞0）．
可化为（x-$\frac{{a}^{2}+1}{{a}^{2}-1}$）²+y²=1+（$\frac{{a}^{2}+1}{{a}^{2}-1}$）²，轨迹表示圆；
a=-1，方程：（a²-1）x²+（a²-1）y²-2（a²+1）x+（a²-1）=0（a＞0）．
可化为x=0，表示y轴；
（2）当a=$\sqrt{2}$时，方程可化为（x-3）²+y²=8，
∵∠MON=90°，
∴O到直线MN的距离$\frac{\sqrt{2}}{2}×2\sqrt{2}$=2，
∴$\frac{|b|}{\sqrt{2}}$=2，
∴b=±2$\sqrt{2}$．

点评 解决直线与圆相交问题，常通过解半径、圆心距、及弦长的一半构成的直角三角形．