【题目】已知圆的圆心在抛物线上,圆过原点且与抛物线的准线相切.
(1)求该抛物线的方程;
(2)过抛物线焦点的直线交抛物线于, 两点,分别在点, 处作抛物线的两条切线交于点,求三角形面积的最小值及此时直线的方程.
【答案】(1) ;(2) 三角形PAB面积最小值为4,此时直线L的方程为.
【解析】【试题分析】(1)写出圆心/半径,焦点坐标和准线方程,根据原点在圆上及圆心到抛物线的距离建立方程,解方程组求得的值,由此得到抛物线方程.(2)设出直线的方程,联立直线的方程和抛物线线的方程,写出韦达定理,利用导数求出切线的方程,求出交点的坐标,利用弦长公式和点到直线距离公式写出三角形面积的表达式,并由此求得最小值.
【试题解析】
(1)由已知可得圆心,半径,焦点,准线
因为圆C与抛物线F的准线相切,所以,
且圆C过焦点F,
又因为圆C过原点,所以圆心C必在线段OF的垂直平分线上,
即
所以,即,抛物线F的方程为
(2)易得焦点,直线L的斜率必存在,设为k,即直线方程为
设
得,,
对求导得,即
直线AP的方程为,即,
同理直线BP方程为
设,
联立AP与BP直线方程解得,即
所以,点P到直线AB的距离
所以三角形PAB面积,当仅当时取等号
综上:三角形PAB面积最小值为4,此时直线L的方程为.
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【题目】通过随机询问250名不同性别的高中生在购买食物时是否看营养说明书,得到如下列联表:
女 | 男 | 总计 | |
读营养说明书 | 90 | 60 | 150 |
不读营养说明书 | 30 | 70 | 100 |
总计 | 120 | 130 | 250 |
从调查的结果分析,认为性别和读营养说明书的关系为( )
附:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
.
A. 95%以上认为无关 B. 90%~95%认为有关 C. 95%~99.9%认为有关 D. 99.9%以上认为有关
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【题目】数列中,在直线.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令,数列的前n项和为.
(ⅰ)求;
(ⅱ)是否存在整数λ,使得不等式(-1)nλ< (n∈N)恒成立?若存在,求出λ的取值的集合;若不存在,请说明理由.
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【题目】设有下面四个命题
p1:若复数z满足 ∈R,则z∈R;
p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;
p3:若复数z1 , z2满足z1z2∈R,则z1= ;
p4:若复数z∈R,则 ∈R.
其中的真命题为( )
A.p1 , p3
B.p1 , p4
C.p2 , p3
D.p2 , p4
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【题目】在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为 ,(t为参数),直线l2的参数方程为 ,(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.
(Ⅰ)写出C的普通方程;
(Ⅱ)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cosθ+sinθ)﹣ =0,M为l3与C的交点,求M的极径.
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【题目】已知直线与函数相邻两支曲线的交点的横坐标分别为,,且有,假设函数的两个不同的零点分别为,,若在区间内存在两个不同的实数,,与,调整顺序后,构成等差数列,则的值为( )
A. 或B. 或
C. 或或不存在D. 或或不存在
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