Question

18．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足${S_n}=2-（{\frac{2}{n}+1}）{a_n}（{n∈{N^*}}）$．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）记${b_n}={2^{n-1}}{a_n}$，求$\frac{1}{{{b_1}{b_3}}}+\frac{1}{{{b_2}{b_4}}}+…+\frac{1}{{{b_n}{b_{n+2}}}}$．

Answer 1

分析 （I）利用递推式与等比数列的通项公式即可得出；
（II）利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（I）∵满足${S_n}=2-（{\frac{2}{n}+1}）{a_n}（{n∈{N^*}}）$，
∴当n=1时，a₁=2-（2+1）a₁，解得a₁=$\frac{1}{2}$．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$2-（\frac{2}{n}+1）{a}_{n}$-$[2-（\frac{2}{n-1}+1）{a}_{n-1}]$，化为$\frac{{a}_{n}}{n}=\frac{1}{2}•\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$．
∴数列$\{\frac{{a}_{n}}{n}\}$是等比数列，首项为$\frac{1}{2}$，公比为$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=$（\frac{1}{2}）^{n}$．
∴${a}_{n}=\frac{n}{{2}^{n}}$．
（Ⅱ）${b_n}={2^{n-1}}{a_n}$=$\frac{n}{2}$．
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+2}}$=$\frac{4}{n（n+2）}$=$2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．
∴$\frac{1}{{{b_1}{b_3}}}+\frac{1}{{{b_2}{b_4}}}+…+\frac{1}{{{b_n}{b_{n+2}}}}$=$2[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=2$（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=3-$\frac{4n+6}{{n}^{2}+3n+2}$．

点评 本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式与“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．