Question

设函数f（x）=x|x|+bx+c（b，c∈R），则下列命题中正确的是

1. A.
   “b≥0”是“函数y=f（x）在R上单调递增”的必要非充分条件
2. B.
   “b＜0，c＜0”是“方程f（x）=0有两个负根”的充分非必要条件
3. C.
   “c=0”是“函数y=f（x）为奇函数”的充要条件
4. D.
   “c＞0”是“不等式对任意x∈R⁺恒成立”的既不充分也不必要条件

Answer 1

C
分析：本选择题利用直接法解决．由于“c=0”与“函数y=f（x）为奇函数”可以互相推出，即“c=0”是“函数y=f（x）为奇函数”的充要条件，故可直接得出正确答案了．
解答：当c=0时，函数f（x）=x|x|+bx，
∴函数f（-x）=-x|-x|+b-x=-（x|x|+bx）=-f（x）
∴函数y=f（x）为奇函数；
反之，当函数y=f（x）为奇函数时，
f（-x）=-f（x）
∴-x|-x|-bx=-（x|x|+bx）
∴2bx=0?b=0．
∴“c=0”是“函数y=f（x）为奇函数”的充要条件
故选C．
点评：本题考查利用函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性，对充要条件的判断，关键要注意从两方面进行推导，而有些同学会忘记，只证明一方面．