Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为2，D为CC₁中点．
（Ⅰ）求证：AB₁⊥平面A₁BD；
（Ⅱ）求二面角A-A₁D-B的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取BC中点O，连接AO，取B₁C₁中点O₁，以0为原点，OB，OO₁ ，OA 的方向为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，用坐标表示向量

AB1′

=(1，2，-

3

)，

A1B′

=(-1，2， 

3

)，

BD′

=(-2，1，0)，验证

AB1′

• 

A1B′

=0，

A1B′

• 

BD′

=-2+2+0=0，即可证明AB₁⊥平面A₁BD；
（Ⅱ）求出平面A₁BD的法向量为

AB1′

=(1，2，-

3

)，平面A₁AD的法向量为

n

=(-

3

，0，1)，再利用向量的夹角公式，即可求得二面角A-A₁D-B的正弦值．

解答：解：取BC中点O，连接AO．
∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC、
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，
∴AO⊥平面BCC₁B₁，
取B₁C₁中点O₁，以0为原点，OB，OO₁ ，OA 的方向为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系
则B（1，0，0），D（-1，1，0），A1（0，2，

3

），A（0，0，

3

），B1（1，2，0），
（Ⅰ）

AB1′

=(1，2，-

3

)，

A1B′

=(-1，2， 

3

)，

BD′

=(-2，1，0)

AB1′

• 

A1B′

=-1+4-3=0，

A1B′

• 

BD′

=-2+2+0=0
∴AB₁⊥BD，AB₁ ⊥BA₁ ，
∴AB₁⊥平面A₁BD；
（Ⅱ）平面A₁BD的法向量为

AB1′

=(1，2，-

3

)
设平面A₁AD的法向量为

n

=（x，y，z），∴

n • AA1′ =0 n • AD′ =0

，∴

2y=0 -x+y- 3 z=0

令z=1、y=0、x=-

3

，则

n

=(-

3

，0，1)
∴cos＜

n

，

AB1′

＞  =-

6

4

设二面角A-A₁D-B的平面角为θ，即cosθ=

6

4

∴sinθ=

1- 6 16

=

10

4

即二面角A-A₁D-B的正弦值为

10

4

．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的求法，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是中档题．