Question

【题目】①设三个正实数a ， b ， c ， 满足 ，求证：a ， b ， c一定是某一个三角形的三条边的长；
②设n个正实数 a1,a2,...an 满足不等式 (其中 )，求证： a1,a2,...an 中任何三个数都是某一个三角形的三条边的长.

Answer 1

【答案】证明：①由题意，得 ，所以(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)>0 ，由于 a,b,c>0 ，所以上面不等式左边至少有三项为正数，而四项之积为正，故这四项都是正数，从而推出 a+b>c,b+c>a,a,b,c>0，即 a,b,c 是某一个三角形的三条边的长.
②设法把 a1,a2,...an 中任何三个的关系转化为①的条件即可.
由已知及柯西不等式，得

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所以， .
那么由①可知， a1,a2,a3 是某个三角形三条边的长，再由对称性可知 a1,a2,...an 中任何三个数都可以作为某一个三角形三条边的长.
【解析】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，解决问题的关键是①根据所给条件分解因式结合三角形三边关系判断即可；
②设法把 a1,a2,...an 中任何三个的关系转化为①条件即可.
由已知及柯西不等式得到 ，根据对称性可知 a1,a2,...an 中任何三个数都可以作为某一个三角形三条边的长.
【考点精析】根据题目的已知条件，利用一般形式的柯西不等式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般形式的柯西不等式：．