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13.已知定义在R上的函数$f(x)=\frac{{b-{2^x}}}{{{2^x}+a}}$是奇函数.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)设g(x)=f(x)+1,h(x)=lnx
①判断g(x)的单调性并说明理由;
②若g(s)=h(t),求t的取值范围.

分析 (Ⅰ)利用定义在R上的函数$f(x)=\frac{{b-{2^x}}}{{{2^x}+a}}$是奇函数,求a,b的值;
(Ⅱ)①g(x)=f(x)+1,确定解析式,可得结论;
②确定0<g(s)<1,利用g(s)=h(t),求t的取值范围.

解答 解:(Ⅰ)∵f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0,可得b=1
又∵f(-1)=-f(1)
∴$\frac{1-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+a}$=-$\frac{1-2}{2+a}$,解之得a=1
经检验当a=1且b=1时,f(x)=$\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$,满足f(-x)=-f(x)是奇函数.
(Ⅱ)①g(x)=f(x)+1=$\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$+1=$\frac{2}{{2}^{x}+1}$,
∵y=2x+1单调递增,
∴g(x)在R上单调递减;
②∵2s>1,
∴2s+1>2,
∴0<g(s)<1,
∴0<lnt<1,
∴1<t<e.

点评 本题考查函数的奇偶性、单调性,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

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