(本小题满分13分)若圆过点且与直线相切,设圆心的轨迹为曲线,、为曲线上的两点,点,且满足.
(1)求曲线的方程;
(2)若,直线的斜率为,过、两点的圆与抛物线在点处有共同的切线,求圆的方程;
(3)分别过、作曲线的切线,两条切线交于点,若点恰好在直线上,求证:与均为定值.
解:(1)依题意,点到定点的距离等于到定直线的距离,所以点的轨迹为抛物线,曲线的方程为; …………………………………………………………3分
(2)直线的方程是,即,
由得点、的坐标是或,………………………………5分
当、时,由得,,
所以抛物线在点处切线的斜率为,
直线的方程为,即…………①
线段的中点坐标为,中垂线方程为,即…………②
由①、②解得, …………………………………………………………7分
于是,圆的方程为,
即 , ………………………………………………………8分
当、时,抛物线在点处切线的斜率为,此时切线与垂直,所求圆为以为直径的圆,可求得圆为, ……9分
(3)设,,,过点的切线方程为,
即,同理可得,所以,,……10分
又=,所以直线的方程为,
即,亦即,所以,………………………………………11分
而,,所以
. …………………………………13分
科目:高中数学 来源:2015届江西省高一第二次月考数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题满分13分)已知函数.
(1)求函数的最小正周期和最大值;
(2)在给出的直角坐标系中,画出函数在区间上的图象.
(3)设0<x<,且方程有两个不同的实数根,求实数m的取值范围.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年福建省高三年级八月份月考试卷理科数学 题型:解答题
(本小题满分13分)已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求的值;(2)判断函数的单调性;
(3)若对任意的,不等式恒成立,求k的取值范围.
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科目:高中数学 来源:河南省09-10学年高二下学期期末数学试题(理科) 题型:解答题
(本小题满分13分)如图,正三棱柱的所有棱长都为2,为的中点。
(Ⅰ)求证:∥平面;
(Ⅱ)求异面直线与所成的角。www.7caiedu.cn
[来源:KS5
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科目:高中数学 来源:2010-2011学年福建省高三5月月考调理科数学 题型:解答题
(本小题满分13分)
已知为锐角,且,函数,数列{}的首项.
(1) 求函数的表达式;
(2)在中,若A=2,,BC=2,求的面积
(3) 求数列的前项和
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