Question

18．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线y²=8x的焦点重合，点（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）在C上
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，证明：OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知：抛物线y²=8x的焦点为（2，0），c=2，即a²-b²=4，将（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆C方程；
已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线y²=8x的焦点重合，点（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）在C上
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+b，代入椭圆方程，由韦达定理及中点坐标公式求得中点M坐标，根据斜率公式，直线OM的斜率为k_OM=$\frac{{y}_{M}}{{x}_{M}}$=-$\frac{1}{2k}$，则k_OM•k=-$\frac{1}{2}$，则OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．

解答 解：（Ⅰ）抛物线y²=8x的焦点为（2，0），由题意可得：c=2，即a²-b²=4，
又点（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）在椭圆C上，可得$\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{3}{{b}^{2}}=1$，解得：a²=8，b²=4，
c²=a²-b²=4，
∴C的方程：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；…（5分）
（Ⅱ）证明：设直线l的方程为y=kx+b（k，b≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），…（6分）
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k²）x²+4kbx-2b²-8=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=-$\frac{4kb}{1+2{k}^{2}}$，…（8分）
即有AB的中点M的横坐标为x_M=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{2kb}{1+2{k}^{2}}$，纵坐标为y_M=k（-$\frac{2kb}{1+2{k}^{2}}$）+b=$\frac{b}{1+2{k}^{2}}$，…（10分）
直线OM的斜率为k_OM=$\frac{{y}_{M}}{{x}_{M}}$=-$\frac{1}{2k}$，即有k_OM•k=-$\frac{1}{2}$，
故OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．…（12分）

点评 本题考查抛物线与椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及中点坐标公式的应用，考查计算能力，属于中档题．