Question

3．已知非零向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{b}$|，若函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+|$\overrightarrow{a}$|x²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$x+1在x∈R上有极值，则向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角θ的取值范围是（　　）

• A． [0，$\frac{π}{6}$]
• B． （0，$\frac{π}{3}$]
• C． （$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]
• D． （$\frac{π}{6}$，π]

Answer 1

分析 问题转化为导函数有两不同的零点，可得△＞0，代入已知数据由数量积的运算解不等式可得．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+|$\overrightarrow{a}$|x²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$x+1在x∈R上有极值，
∴导函数f′（x）=x²+2|$\overrightarrow{a}$|x+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$有两不同的零点，
∴△=4|$\overrightarrow{a}$|²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＞0，
∵|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{b}$|，
∴4|$\overrightarrow{a}$|²-8|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|cosθ＞0，
∴12|$\overrightarrow{b}$|²-8$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{b}$|²cosθ＞0，
∴cosθ＜$\frac{12}{8\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角θ的取值范围是（$\frac{π}{6}$，π]
故选：D

点评 本题考查数量积与向量的夹角，涉及函数与导数，属基础题．