Question

已知函数y=cos²x+

3

sinxcosx+1，x∈R．
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
（2）求该函数的单调递增区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,利用导数研究函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：先利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简，利用三角函数的性质求得函数最大值时，x的值的集合和函数的单调增区间．

解答： 解：（1）y=cos²x+

3

sinxcosx+1=

cos2x+1

2

+

3

2

sin2x+1=sin（2x+

π

6

）+

3

2

，
∴当2x+

π

6

=2kπ+

π

2

时，即x=kπ+

π

6

时，k∈Z，函数有最大值，
∴此时x的集合为{x|x=kπ+

π

6

，k∈Z}．
（2）当2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，即kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

时，函数单调增，
∴函数的单调增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象和性质．在求得三角函数的单调区间、最值、x的集合等问题时，注意整体思想运用．