Question

17．已知数列{a_n}中a₁=1，a_n+1=$\frac{a_n}{{3{a_n}+1}}$，则a₃₄=（　　）

• A． $\frac{34}{103}$
• B． 100
• C． $\frac{1}{100}$
• D． $\frac{1}{104}$

Answer 1

分析 a_n+1=$\frac{a_n}{{3{a_n}+1}}$，两边取倒数可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=3，再利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{a_n}{{3{a_n}+1}}$，两边取倒数可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=3，
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差数列，首项为1，公差为3．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+3（n-1）=3n-2，
∴a_n=$\frac{1}{3n-2}$．
则a₃₄=$\frac{1}{100}$．
故选：C．

点评 本题考查了递推关系的应用、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．