Question

6．已知S_n为各项均为正数的数列{a_n}的前n项和，a₁∈（0，2），a_n²+3a_n+2=6S_n．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，若对?n∈N^*，t≤4T_n恒成立，求实数t的最大值．

Answer 1

分析 （1）把n=1代入a_n²+3a_n+2=6S_n求得首项a₁=1．结合已知条件a_n²+3a_n+2=6S_n得到：（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-3）=0．由此求得公差d=3，根据等差数列的通项公式推知a_n=3n-2．
（2）利用裂项求和求得T_n，然后根据不等式t≤4T_n实数t的最大值．

解答 解：（1）当n=1时，由$a_n^2+3{a_n}+2=6{S_n}$，
得$a_1^2+3{a_1}+2=6{a_1}$，即$a_1^2-3{a_1}+2=0$．
又a₁∈（0，2），
解得a₁=1．由$a_n^2+3{a_n}+2=6{S_n}$，
可知$a_{n+1}^2+3{a_{n+1}}+2=6{S_{n+1}}$．
两式相减，得$a_{n+1}^2-a_n^2+3（{{a_{n+1}}-{a_n}}）=6{a_{n+1}}$，
即（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-3）=0．
由于a_n＞0，可得a_n+1-a_n-3=0，
即a_n+1-a_n=3，
所以{a_n}是首项为1，公差为3的等差数列．
所以a_n=1+3（n-1）=3n-2．
（2）由a_n=3n-2，可得${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{{（{3n-2}）（{3n+1}）}}=\frac{1}{3}（{\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}}），{T_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}$=$\frac{1}{3}[{（{1-\frac{1}{4}}）+（{\frac{1}{4}-\frac{1}{7}}）+…+（{\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}}）}]=\frac{n}{3n+1}$．
因为${T_{n+1}}-{T_n}=\frac{n+1}{{3（{n+1}）+1}}-\frac{n}{3n+1}=\frac{1}{{（{3n+1}）（{3n+4}）}}＞0$，
所以T_n+1＞T_n，所以数列{T_n}是递增数列．
所以$t≤4{T_n}?\frac{t}{4}≤{T_n}?\frac{t}{4}≤{T_1}=\frac{1}{4}?t≤1$，
所以实数t的最大值是1．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．