Question

10．已知定义在R上的函数满足f（1）=2，且f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）＜1（x∈R），则不等式f（x）＜x+1的解集为（　　）

• A． （1，+∞）
• B． （-∞，-1）
• C． （-1，1）
• D． （-∞，1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 由题意，设g（x）=f（x）-（x+1），x∈R；求出g′（x），判定g（x）的单调性，由此求出不等式f（x）＜x+1的解集．

解答 解：根据题意，设g（x）=f（x）-（x+1），x∈R；
∴g′（x）=f′（x）-1＜0，
∴g（x）在R上是单调减函数；
又∵g（1）=f（1）-（x+1）=0，
∴当x＞1时，g（x）＜0恒成立，
即f（x）＜x+1的解集是（1，+∞）．
故选：A．

点评 本题考查了求不等式的解集的问题，解题时根据题意，利用构造函数的方法，由导数判定函数的单调性并求出不等式的解集，是中档题．