Question

13．设函数f（x）=-x³+2x²-x（x∈R）．
（1）求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的极值．

Answer 1

分析 （1）先求出函数f（x）的导数，求出f（2），f′（2）的值，从而求出切线方程；（2）先求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值．

解答 解：（1）因为f（x）=-x³+2x²-x，
所以 f′（x）=-3x²+4x-1，且f（2）=-2，
所以 f′（2）=-5，
所以 曲线f（x）在点（2，-2）处的切线方程是y+2=-5（x-2），
整理得：5x+y-8=0．
（2）由（1）知f′（x）=-3x²+4x-1=-（3x-1）（x-1），
令f′（x）=0，解得：x=$\frac{1}{3}$或x=1，
所以f′（x），f（x）变化情况如下表：

x	（-∞，-$\frac{1}{3}$）	$\frac{1}{3}$	（$\frac{1}{3}$，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	-$\frac{4}{27}$	↗	0	↘

因此，函数f（x）的极大值为0，极小值为-$\frac{4}{27}$．

点评 本题考查了曲线的切线方程，考查函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．