Question

如下图所示，两射线OA与OB交于点O，下列5个向量中，
①2

OA

-

OB

  ②

3

4

OA

+

1

3

OB

 ③

1

2

OA

+

1

3

OB

 ④

3

4

OA

+

1

5

OB

  ⑤

3

4

OA

-

1

5

OB

若以O为起点，终点落在阴影区域内（含边界）的向量有（　　）个．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根据平面向量基本定理，可得到

ON

=t

OA

+（1-t）

OB

，由M在阴影区域内可得实数r≥1使得

OM

=r

ON

，从而

OM

=rt

OA

+r（1-t）

OB

，根据 rt+r（1-t）=r≥1，r（1-t）≥0，得出结论．

解答：解：设M在阴影区域内，则射线OM与线段AB有公共点，记为N，
则存在实数t∈（0，1]使得

ON

=t

OA

+（1-t）

OB

，
且存在实数r≥1，使得

OM

=r

ON

，从而

OM

=rt

OA

+r（1-t）

OB

，且 rt+r（1-t）=r≥1．
又由于 0≤t≤1，故 r（1-t）≥0．
①中rt=2，r（1-t）=-1＜0，rt+r（1-t）=r=1，满足r≥1但不满足r（1-t）≥0，故①不满足条件．
②中rt=

3

4

，r（1-t）=

1

3

，rt+r（1-t）=r=

13

12

，故②满足条件．
③中rt=

1

2

，r（1-t）=

1

3

，rt+r（1-t）=r=

5

6

，不满足r≥1，故③不满足条件．
④中rt=

3

4

，（1-t）=

1

5

，rt+r（1-t）=r=

19

20

，不满足r≥1，故④不满足条件．
⑤中rt=

3

4

，r（1-t）=-

1

5

，rt+r（1-t）=r=

11

20

，不满足r≥1，故⑤不满足条件．
综上，只有②满足条件，
故选：A．

点评：本题主要考查平面向量基本定理，向量数乘的运算及其几何意义，得到

ON

=t

OA

+（1-t）

OB

，是解题的关键 属于基础题．