Question

（12分）设命题p：{x|x²-4ax+3a²＜0}(a＞0), 
(1)如果a=1，且p∧q为真时，求实数x的取值范围；
(2)若¬p是¬q的充分不必要条件时，求实数a的取值范围.

Answer 1

(1)实数x的取值范围是{x|2＜x≤3}. (2)实数a的取值范围是{a|1＜a≤2}.

试题分析：（1）根据题意可知，命题p,q分别表示一元二次不等式的解集，然后利用且命题为真，得到实数x的取值范围。
（2）根据¬p是¬q的充分不必要条件，表明q是p的充分不必要条件，利用集合的思想来求解得到。
(1) 当a＞0时， {x|x²-4ax+3a²＜0}={x|(x-3a)(x-a)＜0}={x|a＜x＜3a}，如果a=1时，则x的取值范围是{x|1＜x＜3}，而{x|x²-x-6≤0,且x²+2x-8＞0}={x|2＜x≤3}，
因为p∧q为真，所以有{x|1＜x＜3}∩{x|2＜x≤3}={x|2＜x＜3}.故实数x的取值范围是{x|2＜x≤3}.
(2) 若¬p是¬q的充分不必要条件，表明q是p的充分不必要条件.由(1)知，{x|2＜x≤3}是{x|a＜x＜3a}(a＞0)的真子集，易知a≤2且3＜3a,解得{a|1＜a≤2}.故实数a的取值范围是{a|1＜a≤2}.
点评：解决该试题的关键是对于命题p,q的正确表示，尤其是含有参数的一元二次不等式不等式的求解，注意根的大小的确定解集，并利用数轴法来得到集合的包含关系进而求解。